TUTTE LE FORMULE PER RISOLVERE I PROBLEMI DI QUESTA UNITÀ SONO QUI

Esercizio 209 pagina 399

Dalla proprieta angoli supplementari http://www.ripmat.it/mate/i/ib/ibdbb.html

sin(π-α)+cos( π/2- α)+2sin(- α)

– il seno di un angolo negativo è uguale all’opposto del seno dello stesso angolo preso positivo: sen(-a) = -sen(a)

sinα +cos( π/2- α)+2sin(- α)

sinα +cos( π/2- α) -2sin α

Dalla regola fondamentale che cosα=(π/2–α) (QUI)

sinα +senα -2sin α

sinα +senα -2sin α=0

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Esercizio 210 pagina 399

Cos(-α)cos(α)- sin(-α)cos( π/2- α)

Cosα cosα – sin(-α)cos( π/2- α)

cos(- α)=cos α (se tracci gli assi cartesiani la vedi bene questa uguaglianza

cos²α + sinαcos( π/2- α)

– sin(-α)=sinα diventa positivo perché cambia il segno 2 volte

cos²α +sinαsinα

cos( π/2- α)=sinα disegna l’angolo sugli assi cartesiani e vedi

cos²α+sin²α=1

questa é una regola fondamentale da mandare a memoria

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Esercizio 211 pagina 399

tan( π- α) cos (-a)-cos(a -π/2)

esprimo la tangente con il rapporto seno coseno

sin( π- α)/cos( π- α) cos (-a)-cos(a -π/2)

cos(-a)=cos α lo vedi dalla figura

sin( π- α)/cos( π- α) cos (α)-cos(a -π/2)

cosa α al numeratore e al denominatore si semplificano

sin( π- α)-cos(a -π/2)

dato che sin( π- α)= sin α si ha:moltiplicando una espressione per -1 il risultato non cambia, lo faccio su -cos(a -π/2) che diventa:

sin α -cos(a -π/2)

Adesso l’ultima cosa da fare é togliere di mezzo il coseno ed esprimere l’angolo come seno. Per fare ciò moltiplico per -1 ogni elemento di -cos(a -π/2) che diventa: cos(π/2-α) ma dato cos(π/2-α)= sen α l’epressione si chiude cosi:

sin α – sin α =2sinα

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Esercizio 212 pagina 399

accendi il pc e mettiti davanti le formule

tan(α)sin( π/2- α) +sin(π+α)

sinα/cosαsin( π/2- α) +sin(π+α)

al posto di sin( π/2- α) metto cosα

sinα/cosαcosα +sin(π+α)

cos α al denominatore e al numeratore si semplificano

sinα +sin(π+α)

dalle formule o figura si ha che sin(π+α)= – sinα

sinα –sinα=0

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Esercizio 213 pagina 399

[sin(-α) +cosa(-α)]²+2sin(π/2-α)sinα

[-sin(α) -cosa(α)]²+2sin(π/2-α)sinα

sviluppo il quadrato

sin²(α) +cosa²(α) – 2sin(α)cos(α)+2sin(π/2-α)sinα

sin²(α) +cosa²(α)=1 e sin(π/2-α)=cosα

1 – 2sin(α)cos(α)+2cos(α)sin(α)=1

Esercizio 214 pagina 399

tan²(7π/2+α)[1-sin²(π/2-α)]+cos²(3π/2+α)

tolgo gli angoli giro

tan²(π/2+α)[1-sin²(π/2-α)]+cos²(π/2+α)

semplifico [1-sin²(π/2-α)]=cos² (π/2-α) (DALLA NOTA RELAZIONE sin²+COS²=1

tan²(π/2+α)cos²(π/2-α)+cos²(π/2+α)

esprimo la tangente in funzione del coseno dal formulario

(1-cos²(α)) /cosα²cos²(α)+cos²(α)

cos²α al denominatore e al numeratore si semplificano

1-cos²α+cos²(α)=1

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Esercizio 215 pagina 399

sin(π+α)+cos(π/2-α)+[sin(-α) +cos(-α)]²+2sin(12π+α)sin(5π/2-α)

applico a tutti le regole gia viste degli angoli complementari e supplementari e semplifico gli angoli giro

-sin(α)+sin(α)+[-sin(α) +cos(α)]²+2sin(α)cos(α)

sviluppo il quadrato all’interno parentesi

-sin(α)+sin(α)+sin²(α) +cos²(α)-2sin(α)cos(α)+2sin(α)cos(α)

semplifico e dalla prima regola generale concludo:

sin²(α) +cos²(α)=1

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Esercizio 219 pagina 399

[1-sin²(5π/2+x)+cos²(x-π)]tan(-x-9π)

semplifico togliendo gli angoli giro.cioè tolgo tutti i 2π e si suoi multipli

[1-sin²(π/2+x)+cos²(x-π)]tan(-x-π)

il seno di π/2+x=cosx QUI

trasformo x-π in π-x moltiplicando per -1 quindi cos²(x-π)= -cos(π-x)

[1-cos²(x)+cos²(x)]tan(-x-π)

-cos²(x)+cos²(x) si annullano

[1]tan(-x-π)

cambio di segno a tan(-x-π) moltiplicando tutto per -1 quindi tan(-x-π)=-tan(π+x)

-tan(π+x)

la tangente di un angolo π+x é positiva quindi il segno meno davanti alla tangente che c’era ià rimane

(-tan(x+π))= -tanx

—————— Esercizi con le formule di addizione e sottrazione—————————-

Esercizio 304 pagina 407

semplificare le seguenti espressioni utilizzando le formule di addizione e sottrazione

sin(π/3+x)-cos(π/6-x)

sin (π/3)* cosx+(cosπ/3) *sinx -[(cosπ/6)*cosx+sen(π/6)*senx]

inserisco i valori numerici di sin (π/3)=√3/2 cos(cosπ/3)=1/2 cos cos π/3)=√3/2

(√3/2)*cosx+(1/2)*sinx- (√3/2)*cosx- (1/2)*sinx=0

si elide tutto quindi risultato=zero

Esercizio 305 pagina 407

sin(π/4+x)-cos(3π/4+x)

sin (**π/4)* cosx+(cosπ/4) sinx -[(cos3π/4)cosx-sen(3π/4)*senx]**

inserisco i valori numerici di sin (π/4)=√2/2, cos(3π/4)=-√2/2

(sen3π/4)=√2/2

**(√2/2)cosx+√2/2sinx –[(-√2/2)*cosx- (√2/2**)*sinx=0]

**(√2/2)cosx+√2/2sinx (√2/2)*cosx (√2/2**)*sinx=0]

———–Esercizio 306 pagina 407——————

cos(α+240°) +sin(α+30°)

determino seno e coseno di 240° e 30°

sen 30°=1/2, cos 30°=√3/2, sin 240°=-√3/2, cos240°=-1/2

applico le formule sottrazione e addizione

-1/2cosα+ (√3/2)senα +√3/2sinα*(**√3/2)+1/2*cos**α

semplificando:

(√3/2)senα +√3/2sinα=√3*sinα

—————————-esercizi sulle formule di duplicazione ——————-

Calcolare le funzioni goniometriche di 2α in base alle informazioni assegnate

esercizio 317 pag 408

cosα=1/3 per 3π/2 <α<2π (angolo nel quarto quadrante)

sinα=√1-(1/3)² (tutto sotto radice) =-(2√2)/3

sin(2α)=2sinαcosα=(-(2√2)/3)1/3=-4√2/9

cos2α=cos²(α)-sin²(α)=1/9- 8/9= -7/9

tanα=sinα/cosα=-(2√2/3)/1/3=-2√2

tan 2α=2tanα/(1-tan²α)=(2(-2√2))/ (1-(-2√2)²=(-4***√2)/(1-8)=(4*√2)/7**

—————————-Esercizio 318 pagina 408 ———————–

cos a=-√2/3 per a <π<a

sin a=√1- (√2/3)² (tutto sotto radice)=- √7/3

2sin a =2 (-√7/3)(√2/2)=(2√14)/9

2cos a = 2/9 – 7/9=-5/9

3π/4

tan a=(-√7/√2)/(-√2/3)=√7/√2

2tan a=(2√7/√2)/ (1-7/2)=(2√7/√2)/-5/2=(4*√7)/(5√2)

per semplificare moltiplico numeratore denominatore per √2

= – (4***√2√7)/(5√2√7)=(4√14)/(5*2)=- (2√14)/5**

——————- esprimere in funzione di a l’espressione che contiene 2a———————–

Esercizio 320 pagina 408

(cos 2a)/(cos a)

trasformo cos 2 a con la formula di duplicazione mettendo al posto del sen a 1-cos² a

=( 1+cos² a – (1-cos²a))/cos a=( 1+cos² -1 +cos²)/cos a

semplificando:

=2cos a

—————————esercizio 321 pagina 408—————-

(cos2a) / (cos a +sin a )=(cos² a – sin² a)/(cos a +sin a )

PER SEMPLIFICARE esprimo cos² a – sin² a=(cos a+sin a)* (cos a – sin a) e ottengo.

((cos a+sin a)* (cos a – sin a))/(cos a +sin a )

semplificando:

= (cos a – sin a)

3π/4

——————————————esercizio 323 pagina 408———————————–

sin2 a +cos 2a +2 sin² a=2sin a*cos a+ cos² a- sin² a+ 2sin² a

=2sin a*cos a+cos² a +sin² a

dato che cos² a +sin² a=1, risulta

1+2sin a*cos a

———————–SEMPLIFICA LE SEGUENTI ESPRESSIONI——————-

esercizio 380 pagina 412

(sin π/4-sin **π/3)*(sin π/4+ sin π/3)+cos² π/4**

=(√2/2- √3/2)*(√2/2+√3/2)+ 1/2

=(2/4/+((√2*√3)/4) – ((√2√3)/4)) – 3/4+ 1/2=1/4

———————-esercizio 381 pagina 412——————————–

(sin π/2-cos **π)*sin 3π/2**

(1+1)*(-1)=-2

————esercizio 382 pagina 412——————————-

(sin **π/6- 2√2cosπ/4)sin** 3π/2

(1/2 -(2√2)*(**√2/2))* (-1)=(1**

3π/4

**/2-4/2)(-1))((1-4)/2)(-1)**

=((1-4)/2)*(-1)=3/2

————————–esercizio 383 pagina 412———————–

6tan π/6+3tan 5π/6 – 9tan7π/6

=6(√3/3)+ 3(-√3/3)- 9(√3/3)=2√3-√3-3√3=-2√3

————————————esercizio 385 pagina 413———————–

2sin²π/4-cosπ/3+ sin **π/4=2*(2/4)- 1/2+1=1-1/2+1=2-1/2=3/2**

————————————esercizio 386 pagina 413———————–

(sin(**π/4)+sin(3π/4))*(sin (5π/4)+2sin (7π/4)**)=

= ((**√2+√2)/2)*(-√2/2- (√2)/2- (2√2)/2))=**

=((2√2)/2)*((-**√2-2√2)/2))=((2√2)/2)*((-3√2)/2)=-3**

————————————esercizio 387 pagina 413———————–

(cos/3π**– cos2π/3)(cos4π/3-cos5π/3)=(1/2-(-1/2)) (-1/2-1/2)=**

=(1/+1/2)* ((-1-1/2))=1*(-1)=-1

————————————esercizio 388 pagina 413———————–

tanπ/3*(sinπ/3-cos5π/6)+tanπ/4(cosπ/4+sin5π/4)=

=**√3(√3/2+√3/2)+1(√2/2-√2/2)=3**

3π/4

————————————esercizio 389 pagina 413———————–

(tanπ/6-**tan5π/6)(tanπ/3-tan2π/3)=√3/3+√3/3)(√3+√3)=4**

————————————esercizio 391 pagina 413———————–

(sinπ/3+cosπ/6)*(sin5π/6+cosπ/3)=((**√3/2)+(√3/2))*(1/2+1/2)=**√3

)

————————————esercizio 392 pagina 413———————–

(sin3π/4+cosπ/4)²+[( sin(-π/4)+cos(11π/4)]²

nota:3π/4=135°, 11π/4=495°=135°=180°-135°=45°

(√2/2+√2/2)²+[-√2/2-√2/2]²=4

————————————esercizio 396 pagina 413———————–

(2sin(3π/4)-tan(π/4))/((2cosπ/4)-tan(3π/4))=

=((2√2/2)-1)/((2√2/2)- (-1))=(√2-1)/(√2+1)=

nota: per semplificare moltiplico num e denom per (√2-1)

=((√2-1)(√2-1))/(√2+1)(√2-1)=3-2√2

————————————esercizio 397 pagina 413———————–

[(sin(π/2-a)+sina]²+2sin(-a)cos(-a)=[cosa+sina]²+2sin(-a)*cos(-a)=

=1+2sinacosa-2sinacosa=1

——————————-esercizio 398 pagina 413——————————–

tan(α)sin( π/2- α) +sin(π+α)

sinα/cosαsin( π/2- α) +sin(π+α)

sinα/cosαcosα +sin(π+α)

sinα +sin(π+α)

sinα –sinα=0

[sin(-α) +cosa(-α)]²+2sin(π/2-α)sinα

[-sin(α) -cosa(α)]²+2sin(π/2-α)sinα

sin²(α) +cosa²(α) – 2sin(α)cos(α)+2sin(π/2-α)sinα

1 – 2sin(α)cos(α)+2cos(α)sin(α)=1

tan²(7π/2+α)[1-sin²(π/2-α)]+cos²(3π/2+α)

tan²(π/2+α)[1-sin²(π/2-α)]+cos²(π/2+α)

tan²(π/2+α)cos²(π/2-α)+cos²(π/2+α)

(1-cos²(α)) /cosα²cos²(α)+cos²(α)

1-cos²α+cos²(α)=1

sin(π+α)+cos(π/2-α)+[sin(-α) +cos(-α)]²+2sin(12π+α)sin(5π/2-α)

-sin(α)+sin(α)+[-sin(α) +cos(α)]²+2sin(α)cos(α)

-sin(α)+sin(α)+sin²(α) +cos²(α)-2sin(α)cos(α)+2sin(α)cos(α)

sin²(α) +cos²(α)=1

[1-sin²(5π/2+x)+cos²(x-π)]tan(-x-9π)

[1-sin²(π/2+x)+cos²(x-π)]tan(-x-π)

[1-cos²(x)+cos²(x)]tan(-x-π)

[1]tan(-x-π)

-tan(π+x)

(-tan(x+π))= -tanx

Esercizio 305 pagina 407

sin(π/4+x)-cos(3π/4+x)

sin (π/4)* cosx+(cosπ/4) *sinx -[(cos3π/4)*cosx-sen(3π/4)*senx]

(√2/2)*cosx+√2/2*sinx –[(-√2/2)*cosx- (√2/2)*sinx=0]

(√2/2)*cosx+√2/2*sinx (√2/2)*cosx (√2/2)*sinx=0]

cos(α+240°) +sin(α+30°)

-1/2cosα+ (√3/2)*senα +√3/2*sinα*(√3/2)+1/2*cosα

(√3/2)*senα +√3/2*sinα=√3*sinα

cosα=1/3 per 3π/2 <α<2π (angolo nel quarto quadrante)

sinα=√1-(1/3)² (tutto sotto radice) =-(2√2)/3

sin(2α)=2sinα*cosα=(-(2√2)/3)*1/3=-4√2/9

cos2α=cos²(α)-sin²(α)=1/9- 8/9= -7/9

tanα=sinα/cosα=-(2√2/3)/1/3=-2√2

tan 2α=2tanα/(1-tan²α)=(2(-2√2))/ (1-(-2√2)²=(-4*√2)/(1-8)=(4*√2)/7

cos a=-√2/3 per a <π<a

sin a=√1- (√2/3)² (tutto sotto radice)=- √7/3

2sin a =2 (-√7/3)*(√2/2)=(2*√14)/9

2cos a = 2/9 – 7/9=-5/9

3π/4

tan a=(-√7/√2)/(-√2/3)=√7/√2

2tan a=(2√7/√2)/ (1-7/2)=(2√7/√2)/-5/2=(4*√7)/(5√2)

= – (4*√2*√7)/(5*√2√7)=(4√14)/(5*2)=- (2√14)/5

(cos 2a)/(cos a)

=( 1+cos² a – (1-cos²a))/cos a=( 1+cos² -1 +cos²)/cos a

=2cos a

(cos2a) / (cos a +sin a )=(cos² a – sin² a)/(cos a +sin a )

((cos a+sin a)* (cos a – sin a))/(cos a +sin a )

= (cos a – sin a)

3π/4

sin2 a +cos 2a +2 sin² a=2sin a*cos a+ cos² a- sin² a+ 2sin² a

=2sin a*cos a+cos² a +sin² a

1+2sin a*cos a

(sin π/4-sin π/3)*(sin π/4+ sin π/3)+cos² π/4

=(√2/2- √3/2)*(√2/2+√3/2)+ 1/2

=(2/4/+((√2*√3)/4) – ((√2√3)/4)) – 3/4+ 1/2=1/4

(sin π/2-cos π)*sin 3π/2

(1+1)*(-1)=-2

(sin π/6- 2√2*cosπ/4)*sin 3π/2

(1/2 -(2√2)*(√2/2))* (-1)=(1

3π/4

/2-4/2)*(-1))((1-4)/2)*(-1)

=((1-4)/2)*(-1)=3/2

6tan π/6+3tan 5π/6 – 9tan7π/6

=6(√3/3)+ 3(-√3/3)- 9(√3/3)=2√3-√3-3√3=-2√3

2sin²π/4-cosπ/3+ sin π/4=2*(2/4)- 1/2+1=1-1/2+1=2-1/2=3/2

(sin(π/4)+sin(3π/4))*(sin (5π/4)+2sin (7π/4))=

= ((√2+√2)/2)*(-√2/2- (√2)/2- (2√2)/2))=

=((2√2)/2)*((-√2-2√2)/2))=((2√2)/2)*((-3√2)/2)=-3

(cos/3π– cos2π/3)*(cos4π/3-cos5π/3)=(1/2-(-1/2))* (-1/2-1/2)=

=(1/+1/2)* ((-1-1/2))=1*(-1)=-1

tanπ/3*(sinπ/3-cos5π/6)+tanπ/4(cosπ/4+sin5π/4)=

=√3*(√3/2+√3/2)+1*(√2/2-√2/2)=3

3π/4

(tanπ/6-tan5π/6)*(tanπ/3-tan2π/3)=√3/3+√3/3)*(√3+√3)=4

(sinπ/3+cosπ/6)*(sin5π/6+cosπ/3)=((√3/2)+(√3/2))*(1/2+1/2)=√3

)

sin (**π/4)* cosx+(cosπ/4) sinx -[(cos3π/4)cosx-sen(3π/4)*senx]**

**(√2/2)cosx+√2/2sinx –[(-√2/2)*cosx- (√2/2**)*sinx=0]

**(√2/2)cosx+√2/2sinx (√2/2)*cosx (√2/2**)*sinx=0]

-1/2cosα+ (√3/2)senα +√3/2sinα*(**√3/2)+1/2*cos**α

(√3/2)senα +√3/2sinα=√3*sinα

sin(2α)=2sinαcosα=(-(2√2)/3)1/3=-4√2/9

tan 2α=2tanα/(1-tan²α)=(2(-2√2))/ (1-(-2√2)²=(-4***√2)/(1-8)=(4*√2)/7**

2sin a =2 (-√7/3)(√2/2)=(2√14)/9

= – (4***√2√7)/(5√2√7)=(4√14)/(5*2)=- (2√14)/5**

(sin π/4-sin **π/3)*(sin π/4+ sin π/3)+cos² π/4**

(sin π/2-cos **π)*sin 3π/2**

(sin **π/6- 2√2cosπ/4)sin** 3π/2

(1/2 -(2√2)*(**√2/2))* (-1)=(1**

**/2-4/2)(-1))((1-4)/2)(-1)**

2sin²π/4-cosπ/3+ sin **π/4=2*(2/4)- 1/2+1=1-1/2+1=2-1/2=3/2**

(sin(**π/4)+sin(3π/4))*(sin (5π/4)+2sin (7π/4)**)=

= ((**√2+√2)/2)*(-√2/2- (√2)/2- (2√2)/2))=**

=((2√2)/2)*((-**√2-2√2)/2))=((2√2)/2)*((-3√2)/2)=-3**

(cos/3π**– cos2π/3)(cos4π/3-cos5π/3)=(1/2-(-1/2)) (-1/2-1/2)=**

=**√3(√3/2+√3/2)+1(√2/2-√2/2)=3**

(tanπ/6-**tan5π/6)(tanπ/3-tan2π/3)=√3/3+√3/3)(√3+√3)=4**

(sinπ/3+cosπ/6)*(sin5π/6+cosπ/3)=((**√3/2)+(√3/2))*(1/2+1/2)=**√3

=((√2-1)(√2-1))/(√2+1)(√2-1)=3-2√2